Можно ли проверить гласную "а" в слове "безграничный" словом "грАнь"? Слова являются этимологически родственными, но не однокоренными, получается, что слово "безграничный" - словарное?

Заданное имя прилагательное "безграничный" образовано от существительного "граница" и имеет в своем составе тот же корень -- "гранич-" (происходит чередование согласных "ц-ч").
В обоих словах  этой словообразовательной цепочки безударная гласная "а" является непроверяемой.
Как и все остальные однокоренные слова, это прилагательное считается словарным словом.
И все-таки к этому словарному слову можно подобрать проверочное, если обратиться к этимологии его.
Ведь написание многих слов зависит от происхождения их.
И общеславянское существительное "граница" было образовано от существительного "грань" с помощью суффикса "-иц-", который позднее вошел в состав значимой части -- корня "границ-".
Так что вполне обоснованно можно использовать как проверочное слово "грань", этимологическое родство позволяет такую проверку.
                                                                              

По современным нормам русского языка единственно верным вариантом написания вашего слова является следующий:"безграничный". Можно ли проверить безударную гласную "а" в корне словом "грань". Конечно же можно. Ведь слово "безграничный" производное от ссуществительного "граница", которое в свою очередь произошло от слова "грань". Значит "грань", являясь однокоренным словом, может выступать в качестве проверочного слова.