Помогите решить Мосту или мосте - как правильно писать?.

Исходим из значения слова, зафиксированного в словарях:
Для верного ответа на этот вопрос нужно знать, о каком падеже идёт речь. Дело в том, что  обе эти формы имени существительного мужского рода грамматически верны, но каждая в своём случае.
В дательном падеже существует одна форма (и беспредложная, и с предлогом)- с окончанием "-у",  мост/у (чему?), форма дательного падежа, напр., Новому мосту придали необычный дизайн, по мост/у (по чему?), напр., По мосту прошли первые грузовики.
В предложном падеже могут быть варианты, оканчивающиеся и на "-е", и на "-у":
о мост/е (о чём?), напр., На совещании говорили о новом мосте,на мост/у (на чём? где?), напр., Встреча состоялась на мосту.                                                                              

Для того, чтобы правильно написать данное существительное, понять, какое окончание должно быть, необходимо видеть слово в предложении, понимать с каким именно предлогом оно используется.
В том случае, если оно используется с предлогом "о", в окончании пишем "е".
В газете была опубликована статья о новом мосте.
Если о предложении используется предлог "на", тогда существительное нужно писать с окончанием "у".
Все молодожёны фотографируются на мосту.

Правильны оба варианта написания. Всё зависит от того, какой предлог будет использоваться.
Мосту:
Если мы говорим о каком-то месте встречи, месте пребывания, то мы скажем "на мосту".
Послезавтра вечером он ждёт её на мосту. (Речь идёт о конкретном месте встречи).
Мосте:
Если мы хотим обсудить или сказать про мост, то мы скажем "о мосте"
Технические специалисты говорили в своём докладе об именно этом мосте.

В процессе написания либо в устной речи две формы имеет в предложном падеже представленное существительное: мосту и мосте. Определить его падеж необходимо, чтобы узнать, какое  в этом существительном пишется окончание.
Как писать правильно:
Когда стоит предлог «о», также как о предмете обсуждения идет в предложении речь с использованием этого существительного, пишем это слово с окончанием на «е»  — о мосте. Пример: О новом мосте над железной дорогой мечтали жители этого городка.Если о месте пребывания идет речь в предложении, а также  ко второму склонению, мужскому роду относится представленное существительное - необходимо писать окончание «у»: «на мосту». Пример: Пара влюбленных мечтала о будущем, стоя на небольшом декоративном мосту.

В зависимости от того, с каким предлогом употреблять слово мост.
Если слово мост является предметом обсуждения, тогда следует писать "о мосте". Как Вы можете заметить, мы употребили предлог о рядом со словом мост. (Мы разговаривали о мосте, который проходит над дорогой)
В других случаях, мы пишем "на мосту", если речь идёт о месте пребывания. (Мы стояли на мосту)

Правильно и говорить, и писать следует "на мосту", а вот вариант "на мосте" имеет место быть, но он неправильный.
Хотя не раз слышал как раз "на мосте" от подрастающего поколения. "О мосте" ещё куда не шло, но не "на".

Думаю, что "по мОсту", но "на мОсте".
Для проверки: "по мОстику", но "на мОстике".
Сомнение может вызвать похожее по написанию слово "пост" (не как религиозное понятие, а как место для часового) - "часовой на постУ". Но эта форма применения может быть чисто военного качества.

Все зависит от контекста, так как если вы хотите сказать что находитесь там, то есть на мосту, то здесь однозначно верен вариант "на мосту". Если же вы думаете о мосте то тогда точно нужно сказать  "о мосте".

И "мосту" правильно писать, и "мосте" правильно писать. Но смотря где писать, в каком смысле и контексте.
Мы подходим уже к мосту. Правильно.
Они двигались по мосту. Правильно.
Расскажи о втором мосте. Правильно.
Вы снова о мосте? Правильно.
Быть на мосту и мечтать о мосте. Правильно.

И так и так правильно и ориентироваться нужно по контексту, то нужно видеть предложение целиком.
Если вы обсуждаете это инженерное сооружение (мост) то есть говорите о нём, то пишем "о мосте", если же речь о месте пребывания, то пишем "на мосту".

Правильно пишется на мосту. "на мосте" даже слух режет.