Как это решить Как правильно - "легитимация" или "легитимизация"?.

Имя существительное из вопроса родным для нашего языка не является.
Из языка науки латыни русским языком было позаимствовано немало слов как напрямую, так  и через другие языки.
Однокоренное словам, указанным в вопросе, прилагательное легитимный ( соответсвующий праву/законный ) тоже пришло к нам из латинского. От него было образовано суффиксальным способом имя существительное легитимность.
Легитимация имеет значения ( по данным Большого толкового словаря ):
подтверждение/призна�ние законности полномочия либо права,документ это подтверждающий,признание внебрачных детей.Легитимизация может значить ( на основе сведений из Современного толкового словаря Ефремовой ):
узаконение,см. п.1 легитимации.Следовательно оба слова имеют право на существование.