Как правильно: клячёнка или клячонка?
Какой суффикс "онк" или "ёнк"?
КлячОнка или клячЁнка?
Как объяснить правописание?

Вспоминается мне сразу же известная кинокомедия Эльдара Рязанова "Старые клячи". 
От существительного "кляч/а", состоящего всего  из двух морфем (корня и окончания), и образовано новое слово при помощи уменьшительного суффикса (правда, с  пренебрежительным оттенком).
Орфограмма "гласный  в суффиксе" зависит от того, после какой буквы  корня слова располагается этот  суффикс и является ли он ударным или безударным.
Что можно ответить?
Во-первых, указанный суффикс -- после шипящей буквы "ч".
Во-вторых, он находится в сильной позиции (под ударением).
Поэтому применяем орфографическое правило, указывающее под ударением в суффиксах существительных (и прилагательных с наречиями) после шипящих пишется буква "о".
Следовательно, в заданном слове  с полной уверенностью напишем  с суффиксом "-онк-" с гласной "о" -- клячонка,
как и в существительных, например, собачонка, старушонка, одежонка, рубашонка.