Пользователь чем или чего, как правильно? Как правильно говорить: пользователь интернета или пользователь интернетом? Пользователь компьютером или пользователь компьютера? Какой падеж? Какое правило применимо?

Различные слова по-разному "управляют" формами других слов. Как правило, это проявляется в словосочетаниях с подчинительной связью управление. Предлоги тоже сочетаются с разными падежами, иногда с несколькими.
Но вернёмся к нашей ситуации.
Пользователь - это тот человек, который чем-то пользуется. Обратите внимание, пожалуйста, глагол пользоваться требует дополнения в форме Творительного падежа ( чем? кем? ): пользоваться душем, сковородкой, неопытностью, лошадью.
А вот как только речь заходит об имени существительном, ситуация меняется. Существительное пользователь управляет Родительным падежом ( кого? чего? ) слова, называющего объект пользования: пользователь компьютера, интернета, стиральной машинки и т.д.