Как правильно пишется слово "непослушание", слитно или раздельно?
Как написать: "непослушание" или "не послушание"?
Как объяснить написание слова "непослушание"?

Слово «непослушание» - имя существительное, среднего рода, единственного числа, отвечает на вопрос «что?».
Пишется с частицей «не» вместе, когда в предложении это слово можно легко заменить синонимичным существительным без «не». Например: «строптивость». «своеволие», «баловство» и т. д.
Приведем пример предложения:
В детском саду все обратили внимание на непослушание маленького Андрюши. Когда в предложении есть противопоставление  или слова, усиливающие отрицание, такие  как «отнюдь», «совсем», «вовсе» и т. д.,  – будем писать раздельно – «не послушание».
Приведем примеры:
Отнюдь не послушание надо ценить в первую очередь в поведении ребенка.                                                                               

Оба варианта правильны.
Синонимы: упрямый, строптивый, распущенный, своевольный.
Первый вариант:
Слово непослушный можно написать слитно, если к нему будет подобран синоним без частицы «не». Но при этом синоним не должен изменить смысл предложения.
Второй вариант:
Слово не послушный можно написать раздельно, если в тексте есть союзы «а» или слова, усиливающие отрицание.