Помогите решить Как правильно писать и говорить: мырлыкание или мурлыканье?.

В русском языке есть звукоподражательные слова, например, мяу-мяу, гав-гав,  ква-ква, ку-ка-ре-ку, кар-кар.
От них образованы соответствующие глаголы, от глаголов -- однокоренные имена существительные.
Вот и заданное  существительное образовалось по такой словообразовательной цепочке:
мур => мурлыкать  => мурлыканье. Пишется и произносится именно так -- со знаком ь в суффиксе.
Оно обозначает действие по значению глагола "мурлыкать" и относится к разговорной лексике.
Не являются  общеупотребительными,  стилистически нейтральными, как слова на "-ие" .
Вот несколько примеров таких же обиходных слов,  оканчивающихся на "-нье": 
беганье,  кваканье, чавканье,  хихиканье,  чириканье,  щёлканье и т.п.