Лечут или Лечат. Как будет правильно говорить и писать?

Вспомним эту пьесу Чехова и забудем слова "хочут" и "лечут" как дурной сон. Нет таких слов в русском языке.
Если нужно, вот правило:
Но если честно, я эти правила в школе никогда не учила, намного проще просто запомнить.
Клара попала в больницу и теперь её лечат капельницами и уколами. Коля и Веня закончили ветеринарный и уехали в тундру, теперь они лечат заболевших оленей у чукчей и завоевали всеобщее уважение. "Эти непонятные капли, которые ты купила в Интернете, только калечат, а не лечат", - сказала Агафья сестре. Море, солнце и песок лечат душу и расслабляют тело. Пилюлькин и Медуница лечат йодом и медом.                                                                              

Не только "лечат" и "лечут" вызывает вопросы, но и другие формы этого глагола. Например: "лечет" или "лечит", "лечишь" или "лечешь", "лечется" или "лечится", "лечешься" или "лечишься". А на самом деле достаточно определить спряжение этого глагола, и вопросов не будет.
Для этого находим начальную форму ("лечить") и смотрим на окончание. Так как это "ить" и не исключение, то данный глагол относится ко 2 спряжению.
Следовательно, спрягается глагол "лечить" следующим образом:
Я лечу
Ты лечишь
Он лечит
Мы лечим
Вы лечите
Они лечат
Наличие суффиксов "ся" и "сь" в возвратных глаголах на окончания не влияет.

"Леча(у?)т" - это глагол в личной форме - третьего лица, множественного числа, настоящего времени.
Начальная форма глагола, от которого будут образованы его личные формы - что делать? - "лечить". Это глагол на "-ить", что причисляет его к глаголам второго спряжения.
Глагол второго спряжения будет иметь окончание "-ат" в указанной личной форме - что делают? - "лечат". Это и будет ответом на поставленный вопрос.
Приведем примеры предложений с этим глаголом:
Соком черной редьки лечат простудные заболевания. Как лечат варикозное расширение вен на ногах?В нашей поликлинике не лечат от коронавируса.

               Когда написание какой-нибудь глагольной личной формы вызывает затруднения, то сначала находят неопределённую форму этого слова. По-другому эту форму, которая сможет нам в этом помочь, называют инфинитивом. Для того, чтобы словоформу "леч(а?у?)т" как бы превратить в инфинитив, нужно сделать так, чтобы полученная форма отвечала на вопрос "что делать?" (иногда подойдёт и "что сделать?"). Чтобы образовать инфинитив, не нужно добавлять приставки и вообще необходимо постараться сделать минимум изменений. Получится "лечить" (действительно подходит вопрос "что делать?"). Это слово и будет в данном случае опорной формой.
Теперь посмотрим на правую часть слова "лечить", то есть на то, чем оканчивается глагол.  Концовка "-ить" должна напомнить о том, что глагол "лечить" нельзя относить к 1-му спряжению. А 2-ое спряжение, к которому мы подошли, теперь покажет, как нужно написать "леч(а?у?)т" и какую из гласных убрать как лишнюю. Это правило, по которому происходит выбор между "-ут" и "-ат", хорошо известно. Второе спряжение говорит об "-ат", то есть о "лечат".
Писать "лечут" нельзя.
Например:
"Депрессию лечат не только таблетками".