Кладовщик же не кладом заведует, а складом.

Дело в том, что это существительное, называющее должность, образовано при помощи суффикса "-щик-" от субстантивированного сущ-го "кладовая".
Смотрим словарь А. Тихонова.
Кроме того, изначально слово "клад" имело иное значение: образовавшись от глагола "класть"/kladti/, оно использовалось в смысле "нечто положенное", со временем приобрело иной  -  "нечто спрятанное на хранение".
                                                                              

Возможно и пытались по-началу называть складовщиком, но в народе не прижилось, тк неудобно часто произносить слово с двумя первыми буквами согласными, поэтому решили упростить и складовщик стал кладовщиком, несмотря на то что к кладу он не имеет никакого отношения.