Помогите решить Много убежищ или убежищей, как правильно?.

Обратимся сначала к начальной форме заданного в словосочетании слова.  Это существительное "убежище" среднего рода (большое, безопасное),  основа  которого (убежищ-") оканчивается шипящим согласным.
Словоформа этого существительного -- родительный падеж числа множественного (много чего?).
Часто  правописание таких словоформ существительных  вызывает затруднения.
Необходимо вспомнить и применить правило русской орфографии, согласно которому на конце существительных среднего рода (также и женского рода), основа которых заканчивается на шипящую согласную, в родительном падеже множ. числа, мягкий знак на конце не пишется.
Поэтому правильно написать без мягкого знака -- убежищ.
Несколько примеров для закрепления правила:  стрельбище – стрельбищ; плечо -  плеч ("подписано, так с плеч долой"); кольцо – колец;  передача  – передач; крыша  – крыш; гостиница  – гостиниц.