Как решить Может ли союз а соединять однородные члены предложения?.

Еще как может!
Однородные члены предложения выполняют одну и ту же функцию, то есть и граматическая форма у них тоже одинаковая. Иными словами, это одинаковые члены предложения, например, два и более сказуемых, подлежащих, дополнений, определений, обстоятельств в одном предложении. И таких предложений великое множество.
Если бы был союз "и", то мы говорили бы о перечислении. Ну а союз "а" противопоставляет подобные однородные члены.
Подлежащее:
У него болит не нога, а рука.  Сказуемое: 
Она всячески ограничивала его, опекала, а не любила.  Дополнение:
Дети любят не квас, а колу. Определение:
Он был худой, маленький, а сильный. Обстоятельство:
Он едет не медленно, а аккуратно.                                                                               

Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить определение союза как части речи. Обратимся к некоторым учебным пособиям (одно адресовано школьникам, другое - студентам-филологам).
Е. Литневская, Краткий теоретический курс для школьников.
Н. Валгина, Современный русский язык.
Важная синтаксическая функция любого союза - связь, вне зависимости от отношений между членами предложения или частями предложения. Я имею в виду подчинительные и сочинительные (а те в свою очередь - соединительные, разделительные, противительные).
Значит, и сочинительный противительный союз "а" может связывать однородные члены предложения.
Некоторые примеры: Задание ты выполнил, а мне не сказал/Сейчас иду в школу, а вечером -  к тебе.