В последнее время часто встречается термин "безоплатно". Его обычно используют различные веб-коучи, онлайн- тренеры, блогеры, ведущие вебинаров. В чем отличие от привычного нам "бесплатно"?

Есть в русском языке такое слово "бесплатно", - это наречие. Оно означает -  не получая ничего взамен, даром.
Слово "безоплатно" мы не найдем ни в одном из сущесвующих словарей. Это слово - эрратив, что значит намеренно (нарочито) искаженное слово, которого нет в русском языке.
Причины  возникновения эрративов могут быть разными. Но, как правило, их придумывают   для эффекта, для произведения впечатления.
В случае с выдуманным словом "безоплатно" можно предлоложить, что это слово создано с целью обойти предлог "бес-", который был введен только в XX веке,  и был воспринят многими лингвистами резко отрицательно, так как ассоциировался с "бесом", нечистой силой. Слово "безоплатно" (если бы такое существовало), подчиняясь правилам написания приставок, оканчивающихся на "с" и "з",   требовало бы написания приставки "без-", а не "бес-" (стоит перед гласной корня).
                                                                              

Правильно говорить и писать именно, как «бесплатно».
Слово «бесплатно» является наречием, которое обозначает отдавать, делать что-то просто так, не получая за это ничего взамен.
Если рассмотреть второй вариант - слово  «безоплатно», поискать его в русском словаре, то найти ничего не получится.
Данное слово можно найти в украинском словаре, которое обозначает то же: даром, задарма.
Поэтому, если говорить именно про русский язык, то правильно говорить и писать именно «бесплатно».

Лексической разницы (разницы в значениях) между словами "бесплатно" и "безоплатно", в принципе, нет. Оба наречия, которые могут приобрести признаки кратких прилагательных, обозначают одно и то же. Но самая главная разница в том, что слово "бесплатно" не только привычно, но и правильно.   В отличие от слова "безоплатно", которое не только непривычно, но и неверно. Русский язык нового вида наречия "бесплатно" не допускает.
В подробностях перечислены некоторые сферы употребления слова "безоплатно", но лучше всего сказать, что такое слово применяется теми людьми, которых нельзя назвать хорошо знающими русский язык.
Существует вычурная версия о былой недопустимости приставки "бес", которая напоминала обозначение нечистой силы. Но такая гипотеза скорее забавная и развлекательная, чем научная. Слово "безоплатно" держится в языке только по причине незнания правил.
Другого варианта, кроме "бесплатно", нет.

Слова "безоплатный" и "безоплатно" написаны, казалось бы, орфографически безупречно - они морфемно составлены так же, как и, например, слово "безопасно". "З" в приставке перед "о". Вариант "бесоплатно" ("бесоплатный") был бы совершенно неверным. Но только есть ли "безоплатно" в русском языке? Многие увидят его в первый раз. Слово действительно отсутствует, хотя понятно, как оно образовалось: от "без оплаты".
Следовательно, разница между "бесплатно" и "безоплатно" в том, что первое слово есть, а второго нет. Так же, как нет слов "безопечно", "безокрайний", "безоконечно".
Тенденция к "реабилитации" корявости и какографии, не имеющая деловых причин (изгнание "бес"-а серьёзной причиной не считаю), развивается не первый год. Один из примеров - "безоплатная", "безоплатные", "безоплатно". Так говорить и писать нельзя.
"На десерт" приведу предложение со словом "безоплатно", а вы полюбуйтесь на ошибки:
"Одевай форму и ехай безоплатно к ихнему детёнку на евошный день рожденье".Чтобы не выиграть чемпионат по безграмотности и "лингвопижонству", пишите и говорите "бесплатно", "бесплатный".

Смысловой разницы в этих словах нет.
Но есть один нюанс, которым некоторые люди объясняют свою привычку говорить не бесплатно (что несомненно правильно по нормам русского языка), а  безоплатно
Приставка бес- или без-, - вот в чем соль.
Есть такие люди, что считают излишним упоминать чертей и бесов всуе, мол накличешь их потом беды не оберешься.
Так что добавляют к корню плат еще приставку о. Тогда у нас получается двойная приставка о-плат и + без-о-плат.
Однако литературная норма языка велит нам говорить и писать
бесплатно.

"Безоплатно" пришло к нам из украинской блогосферы
кто-то из наших процитировал украинского блогера, и слово закрепилось, как более изысканный синоним русского "бесплатно".
Также это слово используют люди с так называемым магическим мышлением, видящие во всем знаки присутствия потусторонних сил:
Правильный вариант в русском языке: бесплатно.

Если говорить о том, как правильнее будет, то первый вариант верный. Правильно в русском языке говорить - бесплатно, что означает даром, без платы, не заплатив.
Понятно, что сейчас любят говорить новыми словами, но в русском языке слова "безоплатно" нет, только в разговорном стиле. Получается, что данное слово (безоплатно) произошло от бесплатно. Данное слово в разговоре применяют и сторонники "мистичекой" стороны, ведь если говорить "БЕСплатно", то упоминается слово бес, а это, по мнению некоторых, приносит только плохое, т.е. ничего из этого хорошего не выйдет.
Но, еще раз повторюсь, что верным словом будет только слово "бесплатно", как бы модно, по молодежному или "без бесовщины" не звучало "безоплатно".

Если вы хотите правильно говорить на русском языке, то используйте конечно слово "бесплатно", что же касается такого слова как "безоплатно", то это явно просторечный вариант, да еще и с примесью украинского языка. 

Сейчас много новых словечек возникает. Чего только не придумают, чтобы привлечь внимание. В частности, словом  «безоплатно» заменили привычное «бесплатно». Вроде бы по смыслу понятно - без оплаты, и построено слово по правилам русского языка, но какое-то оно чуждое. Давайте говорить и писать на правильном языке, а не переделывать нормальные слова.

Конечно же правильно говорить "бесплатно" и нет иного варианта.
Безоплатно, вроде всё логично, "без" и "оплаты", но это не верный вариант который я даже не слышал в крайне безграмотной речи.
То есть так не говорят и так не пишут.