В чём разница в словах "неверящий" и "неверующий"? Чем отличаются слова верящий и верующий? Каковы отличия, в каких ситуациях применять? Как пишется?

В большинстве случаев в нашем родном языке при помощи префикса не- образуется антоним исходного слова, то есть слово с противоположным смыслом. Поэтому, думаю, стоит рассмотреть разницу в значении слов без данной приставки.
Действительное причастие настоящего времени верящий образовано от основы настоящего времени глагола верить ( -вер- ) с помощью суффикса -ящ-, так как это глагол 2 спряжения. Верящий - тот кто верит кому-то, чему-то или во что-то, в кого-то. Соответственно, неверящий человек - тот, который не верит, чему-то, кому-то...
Верить - глагол многозначный.
Действительное причастие настоящего времени верующий образовано от основы настоящего времени глагола веровать ( -веру- ) с помощью суффикса -ющ-, так как спряжения данный глагол первого.
Глагол тоже многозначный, но на первом месте среди его значений стоят "верить в Бога" и "быть религиозным", он подразумевает веру истинную и глубокую.
В общем-то, по информации из многих толковых словарей, верить и веровать являются синонимами. Значит, в принципе, они взаимозаменяемы. Однако, повторюсь, если речь идет о вере сильной и глубокой, то лучше употреблять глагол веровать и причастия верующий/неверующий.