Как это решить Мужичок с ноготок или мужичок-с-ноготок - как правильно?.

Мужичок -с- ноготок - это сложное слово, которое содержит две основы в своём составе и кроме этого содержит союз. По правилу орфографии в русском языке, если сложное слово содержит в своём составе союз или союзное слово, то правильное написание сложного слова с дефисом.
Мужичок -с- ноготок - это герой поэмы Некрасова «Крестьянские дети».
Слово стало нарицательным, так говорят про работящего человека небольшого роста.
Сыну всего пять лет, но он уже поливает грядку в огороде своей маленькой лейкой, он работящий маленький мужичок-с- ноготок.
Подобные слова: мать-и-мачеха, не-тронь-меня, Иван-да-Марья, любишь-не-любишь.

Оба варианта допустимы. У Некрасова «Мужичок с ноготок», без дефисов.
И его родственник мальчик-с-пальчик (иноагент) тоже пишется и так и этак.