как писать - Улан-Удэ или Улан-Уде? 
Почему именно так?

Пишется Улан-Удэ, потому что это город и таково его название. Нужно принять, как факт. Вообще, Улан-Удэ - это город в России, который является ещё и столицей Республики Бурятия. Просто небольшая информация)