Как правильно пишется:
Брекзит
брекзит
"Брекзит"
"брекзит"

Brexit - буквальный перевод Британский выход. Слово новое, ещё не устоявшееся, поэтому встречается и через с и через з. Пока пишут Брекзит и Брексит. Нельзя сказать, что одно из написаний неправильное. По поводу заглавной буквы и кавычек. Выход Великобритании из Евросоюза историческое событие, поэтому правильнее было бы писать с заглавной буквы, но без кавычек.