Выражение "на корню рубить / пресекать", как писать правильно? Фразеологизм "загубить на корню". Почему буква Ю в окончании?

На корню - предложный падеж. (На) ком, на чем? На корню. Но это вообще-то не существительное с предлогом, разве что по происхождению, а наречие. Поэтому определять падеж не вполне правомерно.
Пишется, естественно, раздельно.
На конце Ю по традиции, когда это слово использовалось в своём прямом значении "в несжатом, растущем состоянии". Например: "Барин продал всю пшеницу на корню", то есть до того, как ее сжали. Собственно, и фразеологизм унаследовал это значение: "до того, как что-то завершилось, в самом начале".