Помогите решить Что означает Сарай в названиях Сарай-Бату, Караван-сарай, Бахчисарай?.

Караван сарай - это отдых для путников, в понимании обычных людей.
Для идущих долго-долго по пустыне.
Пустыня соприкасается с разными государствами, а порой и прямо в пустыне, стоит государство.
Много народностей населяют пустыни.
У них разный диалект, то есть, одно и то же, что веками может звучать на разных языках, а обозначать одно и то же.
Отдельно слово "караван" и отдельно слова из вопроса: бату, бахчи...
Сейчас в 21-ом веке, данные сочетания слов воспринимаются туристами, как отдых.
В русском языке, слово "сарай"  имеет другое значение, но в чём-то сходное с тюркским, в том смысле, что в сарае "отдыхают" те вещи, которые могут понадобиться.
В украинском языке слово сарай, вообще звучит, как "шопа", но в этом "сарае-шопе" живут и размножаются животные: коровы, свинки и курятник есть.
Отдельно можно сказать о слове "Бахчисарай", если оно пишется слитно и с большой буквы.
Это фонтан любви, любви трагической, где любовь, как и вода в пустыне - только по каплям, тем более они (капли любви и воды) очень дороги в пустыне.
                                                                              

С тюркских языков слово "сарай" на русский язык переводится, как "дворец".

Сарай - это специальная стоянка(отдых, тренировочный лагерь и т.д.) для войска, прежде всего - конного, со складами(оружие,одеж�да,продовольствие и т.д.).
В Сараях так же находились военные ставки великих князей.
Именно поэтому в русском языке "Сараем" до сих пор называется складское помещение и "Сарай" присутствует в названиях городов и населённых  пунктов - Сарай-Бату, Саранск, Бахчисарай, Саратов, Чебоксары и т.д.

Это типичное слово-перевёртыш..
В тюркских языках слово "сарай" - это дворец..
В русском языке "сарай" - некая хозпостройка, склад для инвентаря..
Есть и другие "слова перевёртыши" в тюркских языках..
Вот слово "кулак" - это вовсе не сжатая ладонь, а ... просто "ухо"..

"Сарай" в переводе с некоторых тюрксих языков означает в дословном переводе и частом употреблении   дворец. В частности  Бахчисарай переводится с языка крымских татар как «Дворец-сад»
К привычному пониманию слово сарай на русском языке не имеет ни какого отношения