Например, у меня есть предложение "Не забывают люди, приходят, помогают — воды наносить или в магазин сходить". Как мне в моём предложении "Герой заявляет, что ЦИТАТА." процитировать слова "Не забывают люди, приходят, помогают"? Какие знаки ставить?

Поскольку в тэгах к вопросу есть экзамен, школьная программа, сочинение и другие слова, можно предположить, что вопрос касается правильного с точки зрения пунктуации оформления экзаменационной работы, а не, например, написания статьи на каком-нибудь ресурсе и прохождения проверки на плагиат ( правила цитирования в этом случае совсем другие ).
С моей точки зрения,
это не совсем цитирование, а, скорее, переделывание прямой речи в косвенную. В этом случае цитата просто заключается в кавычки, начинается с маленькой буквы. После кавычек нужна точка.
Если цитирование предваряется словами о нем предупреждающими, то пунктуация похожа на знаки при прямой речи:
после слов двоеточие,цитата заключается в кавычки,если внутри кавычек ( перед закрывающей ) точки нет, то после нее нужна точка.Возможны и другие варианты. Подробнее прочитать о них можно в А. Э. Мильчин, Л. К. Чельцова. Справочнике издателя и автора Мильчина и Чельцовой.