Являются ли эти слова синонимами?
Или есть какая-то разница в значении слов "стыдно" и "постыдно"?

Если бы эти слова были синонимами, то люди бы не укоряли человека за нехорошие поступки.
Одним людям бывает стыдно, а у других это чувство, как говорят в народе с пуповиной отрезали.
Вот и приходится обществу объяснять индивидууму, как  не следует себя вести. Употребляются фразы о постыдном поведении, люди подразумевают поступки которые стыдно совершать.
Таким образом постыдно — это характеристика действия, следствием которого является чувство описываемое словом стыдно.
                                                                              

Не соглашусь с ответом выше. Почему кто то должен определять, что поступок будет постыдным. Для них может и постыдно, так как думают не правильно. Стыдно когда видно, то есть нехороший поступок происходящий(случивш�ийся) сейчас. Постыдно применяют обозначение действия которое произошло раньше, иначе ушло в историю. Он совершал постыдные дела или его дела были постыдными.