Как правильно: насмешлевый или насмешливый?
НасмешлИвый или насмешлЕвый?
Как объяснить правописание?

Прежде всего необходимо определить, в какой морфеме присутствует сомнительная гласная, для чего и сделаем морфемный разбор заданного слова.
Наглядней все-таки составить словообразовательную цепочку: смех => на/смех/а/ть/ся => на/смеш/лив/ый (приставка/корень/су�ффикс/окончание). В корне происходит чередование согласных "х-ш").
Видно, что безударная гласная находится в суффикса прилагательного. А уж здесь точно можно сказать и не ошибиться при этом: правильно писать в суффиксе гласную "и", поскольку в русском языке суффикса "-лев-" не существует (есть только существительное).
Если в слове есть буквосочетание  "лев",   то  прилагательное образовано от существительного, корень которого оканчивается на "л", то есть в сочетании согласная "л" — это часть корня, а суффиксом является только "-ев-". Например, фланелевая пижама, вермишелевый суп, но докучливый, крикливый.