"Научно", как понять, когда это слово пишется отдельно, а когда входит в состав слова и пишется слитно или через дефис? С какими словами "научно" нужно писать раздельно, с какими - слитно, с какими - через дефис. Как это запомнить? Какое правило?
Приведите примеры.

               "Научно" пишется раздельно только в случае использования данного слова в качестве наречия.
Например: "Он нам научно объяснил, как устроена Солнечная система." или "Ваше выступление прозвучало не научно."
Так же раздельно "научно" пишется с причастиями - "научно доказанный", "научно обоснованный".
В этом случае причастие является главным словом, а "научно"- его признаком, отвечая на вопрос "как?".
"Научно" пишется слитно с различными приставками - "антинаучно", "псевдонаучно", "архинаучно".
В сложных словах-прилагательных "научно" давно и прочно пишется через дефис: "научно-популярный", "научно-технический", "научно-исследовательский" и т. д.
Раздельное написание практиковалось ранее, в свободном письме ошибкой не считается.
Но при сдаче экзаменационного теста - будет засчитано как ошибка.

               Принцип такой.
Раздельно пишется сочетание наречие + причастие, причем существует вариант: наречие + глагол: доказать научно (с использованием науки) — научно доказанный, также научно выверенный и др.
Остальные сочетание — это сложные слова с дефисным написанием, составленные из основ двух/трех прилагательных: научно-производственный, научно-учебный, научно-учебно-производственный, научно-фантастический.
А как же слитное написание, оно невозможно? Оказывается, раньше существовало слово со слитным письмом и с подчинительной связью основ: естественные науки — естественнонаучный. Однако в настоящий момент нормировано только дефисное написание: естественно-научный. Почему? Это термин (пишется через дефис или слитно), но слово в слитной форме сложно для прочтения и понимания.