Немытый или не мытый - как пишется? Слитно или раздельно? Почему?

Правильными являются оба варианта написания. Всё зависит от того, какой смысл вкладывается в это слово при его написании в конкретном предложении. Оно может звучать следующим образом:
1)"Он наконец-то решил привести в порядок свой давно немытый автомобиль."
Но возможен и совершенно иной вариант его толкования в предложении:
2) "Он ясно видел, что кабинет был лишь слегка подметённый, а не мытый."
В первом предложении слово НЕМЫТЫЙ  пишется слитно, так как НЕ здесь является префиксом(приставкой). Это легко определяется тем, что никакого противопоставления слову НЕМЫТЫЙ нет. И его можно без проблем заменить синонимом ЗАПАЧКАННЫЙ
Во втором же предложении НЕ МЫТЫЙ пишется раздельно, поскольку здесь НЕ является отрицательным союзом. И это как раз определяется присутствием противопоставления("другой, а не такой").