В каких случаях НЕ пишется раздельно или слитно?
Какое правило?

В вопросе даны три случая. Их объединяет "не", а вот чем оно является в каждом случае, и как писать ( раздельно или слитно ), мы и разберемся. Общего правила для всех трех случаев нет
(Не)обладающий - это причастие. Писать будем раздельно, так как при причастии есть зависимое слово тактом.
Вывод: не обладающий тактом.
Во втором случае перед нами отрицательная частица не и глагол в форме прошедшего времени третьего лица единственного числа мужского рода. Здесь все просто. Без не этот глагол употребляется, поэтому по общему правилу ( не с глаголами ) писать следует раздельно.
Ответ: не выглядел смешным.
В последнем примере из вопроса вспоминаем о том, что не с краткими причастиями, как правило, пишется в два слова, если не- не является частью приставки недо-.
Ответ: афиши не расклеены.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Полные формы причастий могут писаться с отрицательной частицей "не" как слитно, так и раздельно. Но вот с краткой форме "не" всегда пишется раздельно. Поэтому выражение "афиши не расклеены" не требует дополнительных пояснений.
С глаголами "не" также пишется раздельно, если глагол без "не" употребляется и речь не о приставке "недо". Слово "выглядел" к таковым не относится. Поэтому его с "не" пишем раздельно - "не выглядел смешным".
Слово "обладающий" относится к причастиям, это полная форма. И по правилам, если рядом с причастием стоит зависимое слово, то отрицательная частица также пишется отдельно. Потому выйдет "не обладающий тактом".

Первое слово "Не обладающий", пишем раздельно, так как оно является причастием.
Вариант "не выглядел смешным", и в частности слово "выглядел", тоже пишется с "не" раздельно, так как здесь мы имеем дело с глаголом, который употребляется без "не".   
Ну и в третьей части отделения, "афиши не расклеены", у нас "не" идет с причастием, которое является кратким и здесь в силу этого они тоже должны писаться раздельно.