Как правильно пишется: "не понятый" или "непонятый"?
Какие части речи?
Какие правила написания?
Примеры предложений.

               Слово "понятый" - это страдательное причастие, прошедшего времени, отвечает на вопрос - что сделанный? Оно образовано от глагола "понять" - совершенного вида, переходного, первого спряжения.
Причастие, когда есть к нему зависимые слова, будем писать с отрицательной частицей "не" раздельно - "не понятый".
Например, в предложении:
Алексей, не понятый своим другом, не стал больше ничего доказывать. Также слово "(не)понятый" - может быть отглагольным прилагательным. Оно пишется слитно с приставкой "не" - "непонятый", когда нет противопоставления (союз "а"), или слов, усиливающих отрицание: "отнюдь", "вовсе", "далеко". Например: "не понятый, а осуждаемый"; "вовсе не понятый". 
Приведём пример слитного написания отглагольного прилагательного "непонятый":
Оскорбленный и непонятый он молча вышел из комнаты.