.(не)погасив костра?
В каких случаях НЕ пишется раздельно или слитно?
Какое правило?

При написании не со словами ошибки допускаются нередко, и не только школьниками.
Рассмотрим случаи из вопроса.
В первом у нас нет противопопоставления с союзом а, при помощи приставки не- образовано новое слово от имени существительного погода, можно заменить синонимом без не ( ураган ,шторм и т.д. ), поэтому не- пишется с -погода в одно слово ( непогоду ).
Слова допонимание в нашем языке не существует, это самое простое правило. Раз без не- слово не употребляется, пишем слитно ( недопонимание ).
Правило для написания не с деепричастием в третьем словосочетании тоже простое. Его с не следует писать в два слова, так как без не данное деепричастие употребляется ( не погасив ).
                                                                              

Правильно:
Несмотря на непогоду (не- приставка), высказать недопонимание (приставка-недо),
не погасив костра ( здесь "не" — это частица с деепричастием пишется раздельно.)