Как следует писать правильно "при укладке" или "при укладки"?
Какое окончание следует писать "и" или "е"?

Слово "укладка" - сущесвительное женского рода, первого склонения, единственного числа.
Для ответа на поставленный вопрос, прежде всего надо обратить внимание на предлог в сочетании "при укладке(и?)".
Известно, что  предлог "при" используется исключительно в предложном падеже.
Сущесвительное первого склонения в данной падежной форме в единственном числе будет иметь окончание "Е" - при чём? - "при укладке". Это и есть ответ на поставленный вопрос.
Примеры предложений с этим словом в предложном падеже с предлогом "при":
При укалдке плитки на стену нужно предварительно произвести грунтовку. Я использовала лак при укалдке прически.                                                                              

Слово "укладка" является существительным женского рода 1-ого склонения и чтобы понять, как пишется "при укладкЕ" или укладкИ - обратимся к правилам русского языка.
Предлог  "при" применяется всегда только в предложном падеже, а существительные 1-ого склонения, как наше слово "укладка, имеют окончание "е" - (при ком/чём?) "при укладке".
Пишем правильно: при укладкЕ.
При укладкЕ асфальта на весомом объекте рабочие применили самые современные технологии.
Наша бригада очень ответственно отнеслась к работе при укладкЕ тротуарной плитки.

Думаю, будет "при укладке". То есть, с окончанием "е"