Помогите решить "Всегда" и "завсегда", есть ли разница в значениях слов?.

Лексическое значение этих двух наречий полностью совпадает.
Они являются синонимами --  имеют значение "постоянно, в любое время".
Но при этом наречие "всегда" -- это стилистически нейтральное слово.
Наречие "завсегда" -- просторечное, по сравнению с первым оно не вносит в речь никаких дополнительных  свойств, не обладает смысловыми или экспрессивными качествами.
Поэтому "завсегда" в речи грамотному человеку  лучше все-таки не употреблять.
Да, в художественной литературе (иногда в печати) авторы это слово используют, что оправдано особыми художественными задачами. Это делается  для создания речевой характеристики определенного героя.
Например, у И. Ефремова  ( роман "Лезвие бритвы""):
                                                                              

Разница примерно такая же, как если бы Вы обратились к кому-то "сударь" или "сударыня", хоть оно и из просторечья. Слово выпало из употребления аж в 19 веке, но оставило нам "завсегдатай" (частый, постоянный посетитель).
Так что если Вы его и употребите, то никто, поверьте, не сочтёт Вас неграмотной, это слово (как и сударь и другие устаревшие) будет воспринято как шутливая интонация.