"Как правильно пишется: "обернуться" или "обернутся"?
Обернуться" или "обернутся"? С мягким знаком или без мягкого знака?

"Обернуться" и "обернутся" - это две различные формы глагола.
Имеет место быть и написание с мягким знаком, так же и без мягкого форма существует.
Давайте разберем на конкретных примерах:
Он успел лишь один раз ( что сделать?) обернуться.
В этом предложении к глаголу поставили вопрос и выяснили, что так же , как и вопрос, сам глагол в неопределенной форме пишется с мягким знаком.
Если мы им помахаем рукой, думаешь они ещё разок (что сделают?) обернутся.
Как видно из примеров, оба варианта верны.
Существует вариант написания с мягким, и без мягкого знака вариант написания тоже есть.
Главное, поставить к этому глаголу вопрос и выяснить, с мягким он знаком или же нет.
                                                                              

Составим предложения, в которых глагол используется в двух разных формах: "обернуться" и "обернутся":
Когда дети (что сделают?) обернутся, то сразу поймут в чём дело. Тебе надо (что сделать?) обернуться и обратить внимание на симпатичного парня в бейсболке. По вопросам, задаваемым  к глаголам, легко определить форму глагола.
В первом предложении стоит вопрос - что сделают? - его можно задать глаголу третьего лица, множественного числа, будущего времени. В вопросе нет мягкого знака на конце - его мы и не будем ставить в самом глаголе. Поэтому пишем правильно -  "обернутся".
Во втором предложении стоит вопрос - что сделать? - который свидетельствует о том, что это глагол  неопределенной формы. Наличие мягкого знака подсказывает нам, что и в самом глаголе он тоже присутствует. Пишем  правильно - "обернуться".

Слово из вопроса отвечает на вопрос глагола и называет действие. Следовательно, вопрос задан о правописании глагола.
Пропуск мягкого знака в тех формах глагола, где он необходим, и постановка ь там, где его не должно быть - весьма распространенные орфографические ошибки.
Самый простой способ проверки - задать к глаголу вопрос. Если на конце вопроса есть мягкий знак, значит, и в глагольной форме перед -ся после т он нужен. Нет ь на конце - не нужен.
Если перед нами начальная форма глагола ( что делатЬ?, что сделатЬ? ), ставим ь перед -ся:
Стараться, удивляться, радоваться.
Если это форма настоящего или будущего времени ( что делают?, что сделают?, что делает?, что сделает? ) третьего лица единственного и множественного числа, то мягкий знак после т перед -ся не ставится.
Они решили ( что сделать? ) обернуться и проверить.
Если они ( что сделают? ) обернутся, то все увидят.

Тем и интересен наш великий и могучий, что богат, разнообразен.
В данном конкретном случае те, кто скажет: "Что делатЬ? ОбернутЬся, мягкий знак должен быть здесь!" будут правы, но лишь отчасти.
Потому что в предложении "А ты их тут подожди, друзей своих. Они мигом обернутся!" (обернутся - сбегают или сходят, съездят куда-то "туда" и назад вернутся, другое значение - посмоттрят назад) уже будет уместен вопрос "Они что сделают? (мягкого знака нет) Обернутся (так же без мягкого знака)".