Одна хурма, две хурмы, три хурмы, а как будет пять? Хурм или Хурмей? Почему нужно писать именно так, а не иначе?

Слово "хурма" - существительное.
В современном русском языке все имена сущ-е могут иметь не только значение конкретности, вещественности, отвлечённости, но единственности и собирательности.
В нашем случае мы имеем дело с существительным собирательным, которое употребляется только в форме единственного числа и обозначает и один фрукт, и множество.  Собирательные сущ-е с количественными числительными не употребляются.
Это значит, нельзя сказать "одна/две/три/четыре и т.д. хурмы".
В речи просто заменяем другим словом, вернее - добавляем, напр., взвесьте, пожалуйста, пять штук хурмы.
                                                                              

Вот такой он, русский язык - загадочный.
Есть несколько глаголов, которые невозможно применить в первом лице единственного числа
Попробуйте навскидку: победить, убедить, очутиться, ощутить, чудить.
Есть чудная форма множественного числа от существительных:
дно - донья
Есть странное склонение такого слова как кочерга во множественном числе.
И этот случай с хурмой из того же разряда.
Но к счастью, наш язык такой богатый на возможности, что дает нам разумную альтернативу.
Я бы сказала так: "Дайте мне пять плодов хурмы"

Это верно- пять хурм, в единственном- хурма, во множественном- хурмы, отсюда  и склонение по падежам- хурмы, хурм, хурмам, хурмы, хурмами, о хурмах. Не привычно  для уха, яблоки легче поддаются склонению, но- слава Богу- не фейхоа... А покупатели иногда просят взвесить им пять хурминок, это красиво и благозвучно.

Сказать можно по разному:
пять штук хурмы,
пять хурмушек,
пять хурмичек,
пять хурм,
пять хурем.