Огородить или отгородить, в чем разница?

Правильны оба варианта, просто у них разное значение (семантика).
Огородить можно место, какой-то участок. "Огород" - как раз оно. Огородить означает опоясать выделенный участок забором, преградой, отделить его от окружения.
Отгородить означает - разделить, поставить преграду, отделить какой-то участок от всего остального, не обязательно даже в чисто геометрическом смысле. Можно отгородить себя от всего мира, не возводя ни стен, ни заборов.
Так что проще всего интерпретировать это так: огородить - нарисовать замкнутую кривую, выделяющую участок, а отгородить - это разделить ограниченную площадь, отгородив одну её часть от остальных.