Какое слово нужно убрать из предложений:
Из-за мороза горячий кипяток замерзает на лету
Решили вновь возобновить занятия спортом?
Тёмный мрак в городе: экологическая акция «Час Земли»
У вас останутся потрясающие воспоминания о поездке!
Он не понимал, почему она так поступила с ним

Речевая избыточность - серьёзная проблема. Она делает нашу речь громоздкой, некрасивой. Надо избавляться.
Кипяток вот взять (осторожно, не обожгитесь!) - он разве может быть не горячим? Нет? Значит и не надо говорить "горячий кипяток" (и писать тоже). Слово "горячий" - лишнее.
А "вновь возобновить"? Хуже только "масло масляное". Просто "Решили возобновить...", не надо никаких "вновь" ещё.
Тёмный мрак - просто смешно. Просто мрак. Он и без того тёмный. "Мрак в городе..." пишем.
Во фразе о воспоминаниях не нужно употреблять слово "останутся", ведь воспоминания - и есть то, что осталось.
А вот фразу "Он не понимал, почему она так поступила с ним" я оставлю своим коллегам по Большому Вопросу разобрать. Мне не видится, что в ней лишнего.
                                                                              

Позвольте всё-таки не согласиться с некоторыми утверждениями.
1) Во-первых, можно проделать физический опыт: взять сосуд из стекла, наполнить его водой, но не полностью, где-то на одну вторую. После этого плотно закупорить. Затем сосуд опускают в более крупную ёмкость с кипящей солёной водой и ждут, когда вода в нашем маленьком сосуде закипит. Склянку переворачивают, ждут, пока кипение не прекратится. Вот и момент истины. Нужно облить теперь нашу склянку холодной водой. Вода снова закипит! Итак, если кипяток — это по определению кипящая вода, т. е. вода, интенсивно переходящая из жидкого состояния в газообразное по всему объёму занимаемого ею резервуара, то кипяток бывает и негорячий.
ссылка с описанием опыта
2) Во-вторых, не согласен с ликвидацией глагола из предложения о воспоминаниях. Не считаю, что это правомерное действие. "У вас появятся деньги. У вас родится сын", — шепнул предсказатель королю. Без глаголов: "У вас деньги. У вас сын". Изменилось время. Из будущего стало настоящим. Значит, весь смысл поменялся. Глагол "останутся" — это простое будущее время.
3) Зато у меня есть неплохая, на мой взгляд, гипотеза по поводу предложения:
Может, можно убрать подлежащее в главном предложении? Думаю, что в некоторых контекстах это будет возможно. Если в предыдущем предложении уже было слово "он", то в следующем его повторять не нужно (не надо начинать два предложения одинаково). Например, такой текст: "Он никак не мог поверить в своё фиаско. Не понимал, почему она так поступила с ним".

В первой фразе есть одно лишнее слово, которое ни как не изменит смысл текста.
Речь о кипятке. В предложении пытались усилить "горячесть". Не надо, ведь кипяток и так горячий.
Во второй фразе насчёт занятий спортом также есть излишество. Раз решили возобновить, то делайте. Но зачем ещё слово "вновь". Ведь итак все понятно.
В третьей фразе опять масло масляное. Раз в городе мрак, то само собой понятно, что слово тёмный здесь совсем лишнее.
И наконец, в последней фразе я тоже увидел излишество, но оно не так критично и в глаза не бросается, как в трех предыдущих.
Это "с ним". Ведь итак ясно, что речь идёт именно про него.   

Продолжаем помогать школьникам в прохождении олимпиады по русскому языку. В этом разделе школьникам предлагается побыть редактором и вычеркнуть лишние слова из предложений. Лишними в предложениях считаются слова, которые повторяют значение предыдущего или после стоящего слова. Как например новые новости. Новые - слово лишнее. Предлагаю такую версию зачеркивания лишних слов:
Должны быть вычеркнуты слова г̶о̶р̶я̶ч̶и̶й̶ так как кипяток понятно что горячий,  ̶в̶н̶о̶в̶ь̶ - это уточнение возобновления - в обоих случаях корень нов, мрак итак темный,  ̶воспоминания могут жить без слова останутся ,  с ним повторение местоимения.

Тут уже всё верно сказали (и неверно тоже). Беда вот в чем: нельзя править текст, вырванный из контекста и времени.
На первый взгляд лишнее слово "горячий", и так оно и есть. Но важно знать одну деталь: в некоторых местностях словом "кипяток" называют просто кипяченую воду, необязательно горячую.
Кипяченая вода может быть и остывшей. Я встречал такое у людей с Алтая, например. Там фраза "горячий кипяток" вполне употребима в простой разговорной речи, и является именно местной особенностью, а не ошибкой.
Тут очевидный сарказм: "ты опять решил начать новую жизнь с понедельника?". Сочетание "вновь возобновить" может быть намеком на то, что человек раньше уже обещал возобновить что-то, но тогда он сдулся и бросил дело.
Тут нет никаких ошибок. Есть вопросы к дешевому маркетингу, но с точки зрения русского языка проблем нет.
В этой фразе тоже нет ошибок. Ошибочной она кажется только с точки зрения несколько извращённых и совершенно искусственных правил, установленных для контента в сети. Типа слова не повторять, буквы чередовать, бла-бла. Но разве это правильно, что мы уже готовы подчинить русский язык сетевым продажникам? Очевидно, нет.
Если смотреть исключительно с точки зрения красоты текста, то конечно лучше убрать "с ним". Но подчеркну: речь не об ошибке, а только о приятности для глаз.

,,Из-за мороза ГОРЯЧИЙ кипяток замерзает на лету,, - лишнее слово ,,горячий,,. Кипяток не может быть другим.
,,Решили ВНОВЬ возобновить занятия спортом?,, - слово ,,вновь,, писать нет необходимости, так как оно дублирует смысл слова ,,возобновить,,
,,ТЁМНЫЙ мрак в городе: экологическая акция «Час Земли».,, - Мрак, уже означает что в городе темно.
,,У вас останутся ПОТРЯСАЮЩИЕ воспоминания о поездке!,, - мне не кажется, что это тавтология, но по условиям, видимо, подразумевается, что если воспоминания останутся, значит поездка непременно была потрясающей).
,,Он не понимал, почему она так поступила с НИМ.,, - тоже бы поспорила, но другое слово выкинуть не получилось).