Как следует писать правильно "при опасносте" или "при опасности"?
Какое окончание следует писать "е" или "и"?

Как известно,  существительные женского рода, с мягким знаком на конце, то есть с нулевым окончанием в именительном падеже, относятся  к третьему склонению. Именно таким и является слово «опасность».
Приставка «при» - это приставка, которая употребляется лишь в предложном падеже. В этом падеже существительные третьего склонения имеют единственно возможное окончание – «И». Поэтому, пишем слово правильно –  при чём? - «при опасности».
Составим примеры предложений с этим словом:
При опасности падения в гололедицу тротуар посыпают песком. Надо вести себя осторожно при опасности поражения электрическим током.                                                                               

Слово "опасность" является существительным  и чтобы определить, как правильно пишется "при опасности" или " при опасносте", с окончанием на "и" или "е", необходимо обратиться к правилам русского языка.
Приставка "при" указывает нам на предложный падеж, а существительное "опасность" женского рода относится к третьему склонению. Всё это говорит нам, что окончание здесь будет "и".
Правилен ответ: при опасностИ.
При опасности схода лавины, туристические тропы были временно закрыты.

Сначала определимся с орфограммой.
Вопрос задан о правописании падежного окончания имени существительного опасность. Как мы знаем, выбор падежного окончания зависит от склонения существительного и падежа, в котором оно употреблено.
В нашем случае падеж можно определить по предлогу. Предлог при сочетается только с Предложным падежом, в форме которого слова отвечают на вопрос на/о/при чем?.
Само существительное относится к 3 склонению, это означает, что в форме Предложного падежа оно имеет окончание -и, других вариантов нет.
При малейшей опасности возращайтесь назад и ждите подкрепления, мы не имеем права рисковать.