Как пишется, как правильно писать слово палиндром, с какой буквой?
Какое правило русского языка?

Палиндром это всё , что одинаково читается в обоих направлениях ( числа , словосочетания , слова или текст ). Палиндром пишется через букву А ,так как слово заимствовано и образуется от древнегреческих слов πάλιν — «назад, снова» и  δρóμος — «бег, движение» , других правил объясняющих написание данного слова в русском языке нет .
                                                                              

Несомненно, число 404 является пАлиндром, так как является симметричным, и пишется одинаково в обе стороны. Таких примеров множество.
Что касается правил написания, "а" или "о", то тут особых правил в русском языке нет. Слово обязано написанием буквы "а" своему происхождению.
Слово как бы образовано от двух древнегреческих слов.
От слова:
πάλιν — "назад, снова";δρóμος — "бег, движение". Так что придётся это слово просто запомнить, как и многие другие слова используемые в русском языке.
Палиндром, особенно интересно наблюдать это явление при написании предложений, правда не всегда удаётся сохранить смысл таких предложений. Это не что иное, как проявление абсолютной симметрии в литературе, в том числе, и в математике.

Правильно будет "палиндром" — число, слово или текст, одинаково читающееся в обоих направлениях. Например, число "505", слово "топот" или выражение "а роза упала на лапу Азора".