Как пишется слово?
Мягкий знак пишем или нет? Обоснуйте.
Какое правило русского языка применимо в данном случае?

Одна из самых распространенных орфографических ошибок - постановка мягкого знака там, где он не нужен, либо пропуск ь в тех местах, где он необходим.
Сначала следует определить, к какой части речи относится слово, правописание которого вызывает сомнения. Слово из вопроса отвечает на вопрос что делаешь? и называет действие, значит, перед нами глагол.
По поставленному к нему вопросу можно определить его форму. Это изъяснительное наклонение настоящее время второе лицо единственное число.
Как гласит одно из правил, именно в этой форме на конце у глаголов после шипящих нужно ставить мягкий знак: режешь, летаешь, знаешь.
Писать следует аплодируешь.