Никто не отвечает или не отвечаит – как правильно пишется?
Отвечаите или отвечаете – как правильно пишется?

Правильно - отвечаЕт/отвечаЕте. Почитайте таблицу спряжений глаголов (сюда, как я понимаю, вставлять ссылки не приветствуется, но она доступна в интернете), там наглядно отображено.
Если вкратце:
Отвечать/отвечает/от�вечают - 1 спряжение.
Пилить/пилит/пилят - 2 спряжение.

Правильны варианты:
Никто не отвечает
отвечаете