Даны слова, которые нужно разделить на три группы.
По какому признаку нужно произвести это разделение?
Башковитый, безвозмездно, бесплатно, вкалывать, враньё, даром, дрыхнуть, есть, жрать, зря, кушать, лик, лицо, ложь, мудрый, напрасно, неправда, письмишко, письмо, послание, почивать, работать, спать, трудиться, тщетно, физиономия

Каждое из слов, приведённых в данном задании, является стилистическим синонимом по отношению к двум другим словам, означающим тот же предмет, явление или действие.
Их можно отнести к трём ломоносовским стилям (высокий, средний, низкий),
или, по современному определению, к книжной, нейтральной или разговорной лексике.
Слова, относящиеся к книжной лексике:
безвозмездно, кушать, лик, ложь, послание, почивать, трудиться, тщетно, мудрый.
Стилистически нейтральные слова:
бесплатно, есть, лицо, неправда, письмо, спать, работать, напрасно, умный.
Слова, относящиеся к разговорной лексике:
даром, жрать, физиономия, враньё, письмишко, дрыхнуть, вкалывать, зря, башковитый.
                                                                              

Слова, представляющие в своём большинстве стилистические синонимы, можно разделить на три группы, объединенные по одному признаку стиля из пяти стилей современного русский языка.
Разговорный стиль, в который вошли слова с экспрессивной окраской: башковитый, физиономия, даром, зря, враньё, вкалывать, жрать, дрыхнуть, письмишко.
Официально-деловой стиль: есть, безвозмездно, бесплатно, лицо, неправда, трудиться, работать, ложь, спать, письмо.
Художественный стиль включает в основном книжные и устаревшие слова: мудрый, лик, тщетно, кушать, послание, почивать, напрасно.
Вторая группа слов свободно может переходить как в первую, так и третью группу, слова из третьей группы использоваться в первой.

Вы можете разделить данные слова на три группы по признаку "типа деятельности" или "связи с работой". Вот как это можно сделать:
Группа 1 (Слова, связанные с работой):
вкалыватьработатьтрудитьсяГруппа 2 (Слова, связанные с питанием):
кушатьжратьестьГруппа 3 (Слова, выражающие бесполезность или неправду):
бесплатнодаромбезвозмезднонапраснонеправдатщетнозряложьЭто один из возможных вариантов разделения на группы, основанный на смысловой связи слов.

Вот как это можно сделать:
Группа 1 (Слова, связанные с работой):
вкалывать
работать
трудиться
Группа 2 (Слова, связанные с питанием):
кушать
жрать
есть
Группа 3 (Слова, выражающие бесполезность или неправду):
бесплатно
даром
безвозмездно
напрасно
неправда
тщетно
зря
ложь