Какой суффикс?

Правильно говорить "Папенька". Это является уменьшительно ласкательным обращением к отцу, правда уже устаревшим. Сейчас принято говорить Папочка. Папанька - это скорее уже какой-то жаргон, который скорее принижает отца, типа папаша. А "Папинька" в принципе не может быть, так как суффикса ИНЬК практически нет в русском языке, за исключением слов Заинька, Паинька, Баиньки.
                                                                              

В русском языке уменьшительно-ласкательная форма имён существительных образуется с помощью суффиксов.
Уменьшительно-ласкательная форма существительного папа -папенька, образуется с помощью суффикса «еньк». Суффикса «аньк» и «иньк» в русском языке нет. Есть слова исключения: заинька, баиньки, паинька.
В разговорной речи можно сказать «папанька» «папинька», но таких слов нет в нормативном русском языке.
Папенька придавал большое значение воспитанию отпрысков, в семье были гувернеры-французы.