Как будет правильно: одолженый или одолженный?
С одной Н или с двумя НН?
Одолженый или одолженный?
Какая это часть речи?

Заданное слово по своему лексическому значению связано с существительным "долг", оно же употребляется в современном русском языке в виде словосочетания "дать в долг" ("дать взаймы").
Однокоренные слова -- должник (должница), долговой, задолжать, задолженность и также глагол "одолжить".
От этого последнего глагола и образовано причастие страдательное прошедшего времени.
Глагол одолжить  (переходный совершенного вида),   а главное, на что следует обратить особое внимание --  у него есть приставка.
Вот как раз наличие приставки у глагола регламентирует образовать от него причастие с помощью суффикса   с двумя "н".
Это причастие образовано по правилам русского языка с помощью суффикса "-енн-" -- одолженный.
Подруга вернула одолженный у меня  учебник  русского языка.