Как правильно: первинство или первенство?
ПервЕнство или первИнство?
Как объяснить правописание?
Како правило работает?

Понятно, что приведенным словом называется соревнование за первое место.
Это  существительное среднего рода (личное, командное перв-во)  образуется от слова "первый" добавлением двух суффиксов подряд. Правописание безударной гласной в первом из них практически не проверяется, как и правописание большинства суффиксов. Суффиксы просто необходимо знать, помнить, уметь определять их признаки и значения, а затем  и применять правила их правописания.
В данном случае вспоминаем правило орфографии, связанное с ударением в слове.
При употреблении двух суффиксов подряд ("-инств-" и "-енств-") гласная "и" пишется, когда ударение приходится на окончание существительного (например, большинство, меньшинство, старшинство),
а  при ударении в корне слова, как в заданном слове,  пишется гласная "е" в суффиксе.
Так что правильно написать так: первенство.