Как правильно: драивший или драявший?
Какой суффикс "и" или "я"?
ДраИвший или драЯвший?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Последний вопрос в пояснении к основному весьма уместен. Отталкиваясь от него можно размотать весь орфографический клубочек.
Данное слово отвечает на вопрос какой? и называет признак предмета по (!!!) действию, это важно. Но основании приведенных выше признаков мы можем сделать вывод, что это причастие.
Оно действительное прошедшего времени.
Этот вид причастий образуется от основы неопределенной формы при помощи суффиксов -ш- и -вш-. Разберемся с этой формой.
Для нашего случая это инфинитив драить. Убираем -ть, получаем нужную нам основу, добавляем суффикс -вш-.
Верное написание - драивший.
Драивший палубу матрос привлек внимание капитана.