Как решить "По военному" или "по-военному" – как правильно пишется?.

Правильными будут оба варианта. Все завит от того, к какой части речи будет относится слово.Рассмотри такие примеры:
По военному делу в школе у моего брата всегда были одни пятерки.
Солдаты бежали по военному полигону, стреляя на ходу.
В этом случае словосочетание "по военному" отвечает на вопрос "по какому?", то есть выступает в роли прилагательного. Поэтому слова "по" и "военному" пишутся раздельно.
А вот другие примеры:
В армии новобранцев первое время учат по-военному быстро одеваться и заправлять постель.
По-военному четко командир отделения доложил о ходе учебной операции.
Здесь "по-военному" отвечает на вопрос "как?" и является наречием, поэтому пишется через дефис.
                                                                              

При написании слова "по(?)военному" мы всегда должны ориентироваться на то, какой частью речи "по(?)военному" является в контексте, в каждом конкретном высказывании.
Так, например, слово может оказаться в другой речевой ситуации падежным сочетанием или наоборот. В зависимости от этой важной характеристики мы и будем делать вывод о том, ставить после "по" дефис или пробел.
Вот два весьма характерных примера, которые неодинаковы:
"Он шёл браво, по-военному, как настоящий офицер". Задаём вопрос: "шёл как? - по-военному". Перед нами наречие "по-военному", которое всегда пишется с дефисом. "На очередном занятии по военному делу разговор шёл о современном оружии". Также необходим вопрос: "на занятии по какому делу? - по военному". Мы видим имя прилагательное "военный" в дательном падеже. Чёрточка, конечно же, не нужна. "По военному" напишем раздельно.

Прилагательное с предлогом по военному пишется раздельно, например:
По военному обмундированию его принимали за человека, имеющего отношение к армии, хотя он уже давно находился на пенсии. Едва самолёт с артистами успел приземлиться, как молва разнеслась по военному городку. Вы разве не понимаете, что по военному времени такое поведение граничит с преступлением?Наречие по-военному (образа действия) пишется через дефис, например:
Вошедший офицер кратко, по-военному доложил начальнику штаба о состоянии дел в гарнизоне.Отставной капитан, общаясь с людьми на "гражданке", привычно по-военному отвечал "Так точно!"Мальчишки с интересом наблюдали, как на плацу рота солдат, по-военному чётко печатая шаг, занималась строевой подготовкой.

Возможны оба варианта: «по военному» и «по-военному». И это будет зависеть от того, к какой части речи относится слово.
В том случае, когда перед нами прилагательное с предлогом, стоящее в дательном падеже, и к нему можно поставить вопрос – по какому? – "по военному", будем писать раздельно.
Пример предложения: 
Город жил по военному времени. (по какому времени?)Если к слову можно поставить вопрос «как?» или «каким образом?» - следовательно, перед нами наречие образа действия. Его мы пишем через дефис:
Чтобы не опоздать на авиарейс, надо собраться очень быстро – по-военному. (собраться - "как?").