Помогите решить По восточному или по-восточному - как правильно?.

Слово "восточному" с приставкой (предлогом) "по" может писаться и отдельно, и через дефис. Это зависит от того, в качестве какой части речи это слово употребляется.
Если "восточному" прилагательное, отвечающее на вопрос "какому?, то предлог "по" следует писать отдельно. Можно привести следующие примеры:
По восточному календарю 2024 год - год Дракона;
Молодожены отправились в свадебное путешествие по Восточному Средиземноморью.
Если же это слово наречие, отвечающее на вопрос "как?", то приставку "по" следует писать через дефис. В качестве примера приведем следующие предложения:
В ресторане мы заказали плов из баранины по-восточному.
Наш гость из Средней Азии питался в ресторане, где заказывал блюда, приготовленные по-восточному.
                                                                              

Данное словосочетание правильно писать раздельно и через дефис в зависимости от конкретного предложения и части речи, которой является слово.
Если слово отвечает на вопрос как? и является наречием, то написание через дефис.
Предлог переходит в приставку, слово, образованно от полного прилагательного, есть сочетание букв «ому».
Мама очень хорошо готовила, использовала много приправ и ее еда всегда была вкусной и ароматной по-восточному.
В предложении «по» может быть приставкой, а «восточному» прилагательным, написание раздельное.
По восточному склону холма уже пробилась первая зелёная трава.
По восточному календарю мы с мамой родились в год Обезьяны.

Может писаться и по восточному, и по-восточному. Зависит от смысла и части речи.
По восточному календарю папа дракон. В данном предложении слово по восточному представляет собой предлог+прилагательное, а значит пишется раздельно.
Мама сделала рис по-восточному. В этом предложение слово выступает в качестве наречия.