Слово "алый" пишется через "ы" или через "а"?
"Алый" как правильно пишется?
"Пограничный пес Алый (1979)" как написать?

Прежде всего зададимся вопросом: каково значение этого слова? Алый - ярко-красный, это признак предмета по цвету, отвечает на вопрос "какой?" и является прилагательным.
Второй вопрос: бывает ли у прилагательных окончание -ай? Не бывает ни в каких словоформах. Это значит, что в любом грамматическом роде, падеже или числе ни у одного прилагательного такой флексии в русском языке нет и быть не может.
Третий вопрос: а что может быть? Последняя буква - Й, последний звук (по школьной программе) - согласный [й]. Значит, перед нами или начальная форма прил. мужского рода (а также винительный падеж, если прил. относится к существительному неодушевлённому и выступающему в качестве прямого дополнения), или косвенный падеж женского рода. В первом случае пишем -ой, во втором - -ый. Что именно выбрать, решаем по контексту, то есть ищем существительное или местоимение, с которым данное прилагательное образует словосочетание и поэтому согласуется в роде, числе и падеже:
алый чемодан (м. р., им. п. или вин. п.)алой ленты (ж. р., р. п.)алой заре (ж. р., д. п.)алой юбкой (ж. р., т. п.)(по) алой краске (ж. р., пред. п.)В вопросе в качестве примера приводится название фильма
из чего видно, что перед нами:
имя собственное (оним);относящееся к существительному мужского рода, одушевлённому, в именительном падеже.Первый момент очень важен: имя может быть каким угодно, в том числе и иностранным, экзотическим, искусственно сконструированным, то есть выпадающим из всех стандартов русского языка. Вполне возможно имя "Алай", как была возможна операция "Ы", было бы желание таким онимом пользоваться. Однако если вникнуть в сюжет кинокартины, то выясняется, что псу требовалась кличка, начинающееся на букву А. Все слова на А в русском языке - заимствованные, не считая междометий и звукоподражательных. Не называть же собаку Абажуром или Аккордеоном, в самом деле! Оним должен быть кратким и осмысленным. Пёс получил кличку Алый по цвету языка, так что никаких "алаев" там даже близко нет, а есть алый язык (м.р.) и Алый пёс.