Как проверить правописание слова "раздосадованный"?
Какие правила русского языка следует применить?

Раздосадованный - это причастие прошедшего времени.
Раз - приставка.
Пишем приставку раз-, если корень начинается с гласной или звонкой согласной буквы.
Пишем приставку рас-, если корень начинается с глухой согласной.
ДосАд - корень, от слова досАда.
Правописание безударной гласной о надо запомнить, т.к. поставить ее под ударение не получается (нет однокоренных слов с ударением на букву о)
Ова - суффикс глагола.
В неопределенной форме и в прошедшем времени пишем суффиксы -ова- или -ева-, если глагол в 1-ом лице оканчивается на -ую или -юю :
ДосАдую - ДосАдовать.
Нн - суффикс полного страдательного причастия.
Ый - окончание.