В чем гость, пришедший не в пору (незваный), хуже татарина? И почему именно татарина, а не представителя какой-нибудь другой национальности?

Потому что нас учили (сейчас есть другие точки зрения), что Русь очень долгое время находилась под гнётом именно татаро-монгольского ига, но монголы - они как-то подальше, а татары - тут, по соседству живут.
                                                                              

Вспоминается мне такой анекдот. По по просьбе татар, русские перередалили пословицу "Незваный гость хуже татарина" в пословицу "Незваный гость лучше татарина"
Я думаю, что истоки этой поговорке лежат во времена нашествия татаро-монгольского ига. Вот в те времена татары точно не были зваными гостями, так как всегда набегали внезапно и все опустошали. Прямо как незваные гости.

Эта пословица относиться к 13- 17 веку, в 13 веке монголы- татары разрушили мощным нашествием государство Киевскую Русь. Русские князья стали вассалами татаро- монгол  на 200 лет, они отвозили    дань, выпрашивали ярлык на правление у хана Золотой Орды . Татары делали набеги, угоняя местное население в Золотую орду, помимо этого они собирались не только материальные  богатства , но и рабов.  В  15веке Золотая орда из-за внутренних противоречий  распалась на 3 Ханства: Крымское, Казанское, Сибирское. все представители  этих  ханств  продолжали делать набеги, разоряли сопредельные  земли  и угоняли людей. После Завоевания Казани и Астраханского ханства, как одного из осколков Золотой орды Иваном Грозным и покорение Ермаком хана Кучума, эти ханства вошли в состав России. До 18 века самым агрессивным очагом на юге было Крымское ханство, которое в 1596 году становиться вассалом Турции и начинается эпоха  опустошающих   набегов, каждую весну и осень крымчаки и ногайцы нападали на земли близ Дикого поля, лишь казаки Запорожские защищали эти земли. Но, защита была интересная, казаки уходили в поход, а татары приходили на земли близкие к Дикому полю  дикому полю. Казаки , борясь за свою независимость против польских панов, не редко приглашали татар в союзники, в частности один из Гереев брал дань пленниками, помогая Хмельницкому бороться с Ярёмой Вишневецким.

Эта поговорка происходит от вятичей разбойных. В пору, когда древляне-поляне стали приходить к вятичам, чтобы подчинить их и христианизировать, разбойные отряды, прежде специализировавшиеся на отражении набегов из степи, а кочевников с незапамятных времён звали тартарами из тартарии, были удивлены бессовестности, бесчестности и жестокости своих бывших кровных братьев, ставших в одночасье кровными врагами. С татарами всегда было соперничество, часто взаимодействие, иногда войны и прочие разборки, но никогда не было попыток тотального подчинения и насильного навязывания своих религий. А дружины из Киева и других "крестоносцев" именно стремились к  тотальному подчинению и религиозному доминированию, по извечному принципу по типу "це Европа" и тому подобным. Чтобы подчеркнуть, что родственник-предател�ь хуже честного и открытого врага-соперника, живущего по-соседству, и стали использовать эту присловицу. Этим же объясняется тот факт, что многие дружины воевали на стороне "татар" против всякого рода "хрюриковичей". Этим же принципом руководствовался позднее и Александр Невский, выбирая между немцами и Ордой.Всех благ.