Как решить На те или нате – как правильно пишется – слитно или раздельно?.

Слово "нате" и сочетание "на те" существуют в русском языке.
Разберемся с этими частями речи последовательно.
Слово "нате" - это частица, служебная часть речи. Пишется в одно слово, считается разговорной. Синонимично словам "возьмите", "берите". А также другое ее значение -  выражает чувство удивления, осуждения.
Например, в предложениях:
Нате вам договор и распишитесь в нём. Десять лет не виделись, а тут нате вам. Сочетание "на те" - это предлог с местоимением "те". Начальная его форма - "тот", а "те" - это множественное число.
Например, в предложении:
Обрати внимание на те красивые сапоги с широким голенищем.                                                                               

Нате- написал стихотворение известный поэт- бесценных слов мот и транжир. На те явления мы смотрим равнодушно, как солдат на ползущую вошь... Вот два варианта написания слова в контексте предложений с его употреблением