Как следует писать правильно (по)медленнее, слитно или раздельно.

Правильно пишется слитно : помедленнее. Отвечает на вопрос : "Как?" - помедленнее, это прилагательное.
при добавлении к основе прилагательного - образует наречие, указывающее на подобие, соответствие характеристике, описываемой мотивирующим словом. Например : мужской -  по-мужски
при добавлении к основе наречия или прилагательного - образует сравнительную степень соответствующей части речи. Например: больше -  побольше, меньше - поменьше.
Примеры предложений со словом : "помедленнее" :
После операции она просила сопровождающего идти помедленнее. Бабушка Тоня просила внучку идти помедленнее и поддерживать ее под руку, ведь у неё кружилась голова.
                                                                              

Данное слово - помедленнее пишется вместе, так как по у нас приставка.
Иногда бывают вопросы по написанию данного слова из-за того, что есть слово медленнее и надо определить чем является частица по - приставкой или предлогом.
пример:
"пожалуйста, помедленнее, я записываю".

Слово "помедленнее" пишется только слитно. Это наречие, отвечающее на вопрос "как?", "по" в данном случае - приставка, часть слова. Именно по той причине, что "по" - приставка, а не предлог, необходимо слитное написание.

Слитно, если речь идёт о: "Куда торопишься, давай помедленнее".  В данном случае ПО- играет роль приставки, а не предлога, поэтому пишем слитно.