Почему в русском переводе у ведущего Дмитрия Нагиева фамилия пишется через "Г", а у певца Игоря Наджиева фамилия пишется через "ДЖ", если в оригинале их фамилии пишутся одинаково?

Мое мнение, что разница связана с национальными особенностями фамилий.
Дмитрий Нагиев является владельцем чеченской фамилии. Не важно, кто у него в прямых предках написан, но по факту, скорей всего это так. Чеченцы давно входили в состав российской империи, существует классическое чтение чеченских фамилий на русском языке, с которым сами чеченцы давно согласны, даже если на заре их народности это было не так.
У певца Игоря Наджиева корни Иранские.
Раньше Иран называли Персией, если кто не в курсе.
Сочетание ДЖ в персидском языке распространено.
Они наше имя Юрий произносят как Джура. На персидском языке (фарси), возможно, буквы этой фамилии пишутся иначе, а совсем не так же как Нагиев. Но на нем паспорта не заполняются.
У нас тоже английских королей зовут Георгами, хотя для англичан они Джорджи.
                                                                              

Видимо потому, что сразу два НаГиева или два НаДЖиева слишком много для эстрады, вот и поставили в одну букву различия. А проверить как на самом деле пишутся в паспорте Ф.И.О. этих артистов мы не можем. Только верим, что это так, так же как и Витя Белан это Дима Билан )))

Насчёт написания фамилий не стоит особенно зацикливаться. Ведь грамотность тех людей, особенно в давние времена, кто вписывал фамилии новорождённых в церковные книги и прочие бумаги, аналоги данных актов гражданского состояния, оставляли желать лучшего. Поэтому фамилию Нагиева записали через букву Г. А фамилию Наджиев, возможно, записывал человек, поверхностно знакомый с тем, как пишется буква Г в английском, например, варианте - ДЖ.
Но, главное, чтобы носитель той или иной фамилии был хорошим человеком. А там - хоть горшком назови, только в печь не ставь.

Оба этих человека родились в России, и пусть они не совсем русские, но фамилии их пишутся по-русски и не требуют никакого перевода. Соответственно сочетание русских букв ДЖ не имеют никакого отношения к букве "G".