Помогите решить Почему утварь в русской бане и преступное сообщество одинаково называются?.

Слово шайка в случае обозначения криминальной группировки символизирует замкнутость сообщества, его изолированность, его иную суть по сравнению с окружающим обществом.
Это вполне согласуется с названием плоскодонных лодок славянских пират - шайка. Со временем название пиратского судна перешло на группу людей, ходящих на ней.
То есть, название судна было переосмысленно и стало названием разбойничьего сообщества.
На севере это название звучало как ушкуй. Там пиратов называли ушкуйниками.
Банная посудина в своём первоначальном виде имело похожую форму - отсюда и её название "шайка". То есть в этом случае также переосмысленно было название лодки, но в отношении предмета.

Словом "шайка" обозначали пиратское судно, барку. Запорожские казаки  называли свое судно "чайка", заимствовали они это слово из турецкого, немного изменив звук.
Шайкой также называют деревянный или жестяной тазик с ручками по бокам для использования в бане.
Словом "шайка" также обозначают группу людей, объединенных каким-то злым умыслом. Еще добавляют слово "лейка": шайка-лейка. "Лейка" значит черпак( в лодке, сосуде).
Таким образом, единой основой для слова с двумя разными значениями "шайка" служит название судна "чайка".

Это ещё что!
В русском языке полно таких слов, которые означают разные вещи.
Шайка-то всего в двух вариантах: в бане и в банде.
А вот, к примеру, коса - в трёх: на воде, на голове и на покосе.
И поток тоже: движение воды, курс в вузе, массовое производство.
Есть и по четыре значения.
Скажем, ток - электрический, водный, глухариный, зерновой.
Есть и по пять.
Вал - насыпь, волна, множество чего-либо, объём производства, деталь механизма (коленчатый, к примеру).
Но это существительные, и это ещё цветочки.
А вот у глагола "идти" вообще бог знает сколько разных значений можно насчитать.
Шагать ногами (идти по песку)Направляться куда-то (поезд идёт в Москву)Перемещаться (поезд идёт быстро) Направлять мысли (идти от противного)Намереваться (идём спать)Поступать куда-то (идти в вуз)Нравиться, соответствовать (ей идёт светлое)Происходить, продолжаться (идёт война)Работать, действовать (часы идут)Применяться для чего-то (кожа идёт на сапоги)Располагаться как-либо (дорога идёт поперёк)Подходить к чему-то (болт сюда не идёт)Исходить, появляться (из чайника идёт пар)Ну и так далее...
Думаю, каждый читатель сам сможет добавить ещё какие-то значения.
Так что многозначные слова - очень распространённое явление, общее место.
Во всех языках, в том числе и в русском.
Другое дело, что во многих случаях, может, даже в большинстве, - разные значения бывают связаны между собой по смыслу.
Ну, как с тем же "идти" - в основе всего лежит движение, действие.
Но вот банную шайку связать по смыслу с бандитской, наверно, не получится.

Шайка или ушатка из за ручек похожие на уши.
Выражение влить в шаику воду и
Влиться в шайку тоже разные смыслы.
А понятия схожи
Влиться в шайку.